正方形ABCD（1辺4cm）において、辺BCの中点をMとする。点PはCを出発し、毎秒1cmでD, Aを通ってBまで移動する。出発からx秒後の三角形AMPの面積をy平方cmとする。 (1) 図5のグラフの式を求める。 (2) 出発6秒後の三角形AMPの面積を求める。 (3) DからBまでのxとyの関係をグラフに書き加える。 (4) 三角形AMPの面積が3平方cm以下になるのは何秒後から何秒後までか求める。

はい、この数学の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

正方形ABCD（1辺4cm）において、辺BCの中点をMとする。点PはCを出発し、毎秒1cmでD, Aを通ってBまで移動する。出発からx秒後の三角形AMPの面積をy平方cmとする。

(1) 図5のグラフの式を求める。

(2) 出発6秒後の三角形AMPの面積を求める。

(3) DからBまでのxとyの関係をグラフに書き加える。

(4) 三角形AMPの面積が3平方cm以下になるのは何秒後から何秒後までか求める。

2. 解き方の手順

(1) 図5のグラフは点Pが辺CD上にあるときを表している。グラフは原点を通る直線であるから、$y = ax$とおける。グラフから、$x=4$のとき、$y=4$であるから、$4 = 4a$となり、$a=1$。したがって、$y = x$。

(2) 6秒後の点Pの位置を考える。最初の4秒でCD上を移動し、次の2秒でDA上を移動する。点PがDA上にあるとき、三角形AMPの面積を求める。このとき、点PはDから2cmの位置にある。三角形AMPの底辺AMの長さは2cm。高さはAD=4cm。三角形AMPの面積$y = \frac{1}{2} \times AM \times AD = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$。

(3) 点PがDからAまで移動するのに4秒かかる。AからBまで移動するのに4秒かかる。点PがDA上にあるとき、点PからADまでの距離は$4-(x-4)=8-x$である。三角形AMPの面積は$y = \frac{1}{2} \times 2 \times (8-x) = 8-x$。

点PがAB上にあるとき、点PからABまでの距離は$4-(x-8)=12-x$である。三角形AMPの面積は$y = \frac{1}{2} \times 2 \times (12-x) = 12-x$。

したがって、$8 \le x \le 12$のとき、$y = 12-x$。

(4)

点PがCD上にあるとき，$y = x \le 3$。したがって、$0 \le x \le 3$。

点PがDA上にあるとき、$y = 8-x \le 3$。したがって、$5 \le x \le 8$。

点PがAB上にあるとき、$y = 12-x \le 3$。したがって、$9 \le x \le 12$。

したがって、点Pが頂点Cを出発して0秒後から3秒後、5秒後から8秒後、9秒後から12秒後の間である。

3. 最終的な答え

(1) $y = x$

(2) 4平方cm

(3) グラフ参照（DからAまで傾き-1の直線、$8 \le x \le 12$）

(4) 0秒後から3秒後、5秒後から8秒後、9秒後から12秒後