(1) 四面体ABCDにおいて、$\triangle ABC$ の重心をE、$\triangle ABD$ の重心をFとするとき、$EF \parallel CD$であることを証明せよ。 (2) 3点$A(-1, -1, -1)$, $B(1, 2, 3)$, $C(x, y, 1)$ が一直線上にあるとき、$x$, $y$の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 四面体ABCDにおいて、$\triangle ABC$ の重心をE、$\triangle ABD$ の重心をFとするとき、$EF \parallel CD$であることを証明せよ。

(2) 3点$A(-1, -1, -1)$, $B(1, 2, 3)$, $C(x, y, 1)$ が一直線上にあるとき、$x$, $y$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトルを用いて証明する。

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$, $\vec{OD} = \vec{d}$ とおく。

$\triangle ABC$ の重心Eは、

$\vec{OE} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

$\triangle ABD$ の重心Fは、

$\vec{OF} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}$

したがって、

$\vec{EF} = \vec{OF} - \vec{OE} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{\vec{d} - \vec{c}}{3} = \frac{1}{3}\vec{CD}$

$\vec{EF} = \frac{1}{3}\vec{CD}$ より、$\vec{EF} \parallel \vec{CD}$ である。

よって、$EF \parallel CD$ が示された。

(2)

3点$A(-1, -1, -1)$, $B(1, 2, 3)$, $C(x, y, 1)$ が一直線上にあるので、$\vec{AC} = k\vec{AB}$ となる実数$k$が存在する。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1 - (-1), 2 - (-1), 3 - (-1)) = (2, 3, 4)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (x - (-1), y - (-1), 1 - (-1)) = (x+1, y+1, 2)$

$\vec{AC} = k\vec{AB}$ より、

$(x+1, y+1, 2) = k(2, 3, 4) = (2k, 3k, 4k)$

したがって、

$x+1 = 2k$

$y+1 = 3k$

$2 = 4k$

$4k = 2$ より、 $k = \frac{1}{2}$

$x+1 = 2 \times \frac{1}{2} = 1$ より、$x = 0$

$y+1 = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ より、$y = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $EF \parallel CD$ (証明終わり)

(2) $x = 0, y = \frac{1}{2}$