2点 $A(1, 3, 0)$ と $B(0, 4, -1)$ を通る直線を $l$ とする。 (1) 点 $C(1, 5, -4)$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足 $H$ の座標を求める。 (2) 直線 $l$ に関して、点 $C$ と対称な点 $D$ の座標を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(1, 3, 0)$ と $B(0, 4, -1)$ を通る直線を $l$ とする。

(1) 点 $C(1, 5, -4)$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足 $H$ の座標を求める。

(2) 直線 $l$ に関して、点 $C$ と対称な点 $D$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{v}$ は、 $\vec{v} = \vec{AB} = (0-1, 4-3, -1-0) = (-1, 1, -1)$ である。

点 $H$ は直線 $l$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて、

$\vec{OH} = \vec{OA} + t\vec{v} = (1, 3, 0) + t(-1, 1, -1) = (1-t, 3+t, -t)$

と表せる。よって、$H(1-t, 3+t, -t)$ である。

$\vec{CH} = (1-t-1, 3+t-5, -t-(-4)) = (-t, t-2, 4-t)$

$\vec{CH}$ は $\vec{v}$ と垂直なので、$\vec{CH} \cdot \vec{v} = 0$ である。

$(-t)(-1) + (t-2)(1) + (4-t)(-1) = 0$

$t + t - 2 - 4 + t = 0$

$3t - 6 = 0$

$t = 2$

したがって、$H(1-2, 3+2, -2) = H(-1, 5, -2)$

(2)

点 $D$ は点 $C$ の直線 $l$ に関する対称点であるから、$H$ は線分 $CD$ の中点である。

点 $D$ の座標を $(x, y, z)$ とすると、

$\frac{x+1}{2} = -1$, $\frac{y+5}{2} = 5$, $\frac{z-4}{2} = -2$

$x+1 = -2$, $y+5 = 10$, $z-4 = -4$

$x = -3$, $y = 5$, $z = 0$

したがって、$D(-3, 5, 0)$

3. 最終的な答え

(1) $H(-1, 5, -2)$

(2) $D(-3, 5, 0)$