四面体OABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をL、辺OCを3:1に内分する点をM、線分CLを3:2に内分する点をN、線分LM, ONの交点をPとするとき、$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$を用いて、$\vec{ON}, \vec{OP}$をそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をL、辺OCを3:1に内分する点をM、線分CLを3:2に内分する点をN、線分LM, ONの交点をPとするとき、$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$を用いて、$\vec{ON}, \vec{OP}$をそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表す。

2. 解き方の手順

まず、点L, M, Nの位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

点Lは辺ABを1:3に内分するので、

$\vec{OL} = \frac{3\vec{a} + 1\vec{b}}{1+3} = \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

点Mは辺OCを3:1に内分するので、

$\vec{OM} = \frac{1\vec{0} + 3\vec{c}}{1+3} = \frac{3}{4}\vec{c}$

点Nは線分CLを3:2に内分するので、

$\vec{ON} = \frac{2\vec{OC} + 3\vec{OL}}{3+2} = \frac{2\vec{c} + 3(\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b})}{5} = \frac{2\vec{c} + \frac{9}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}}{5} = \frac{9}{20}\vec{a} + \frac{3}{20}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

次に、点Pは線分ON上にあるので、実数$k$を用いて、

$\vec{OP} = k\vec{ON} = k(\frac{9}{20}\vec{a} + \frac{3}{20}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}) = \frac{9k}{20}\vec{a} + \frac{3k}{20}\vec{b} + \frac{2k}{5}\vec{c}$

また、点Pは線分LM上にあるので、実数$l$を用いて、

$\vec{OP} = (1-l)\vec{OL} + l\vec{OM} = (1-l)(\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}) + l(\frac{3}{4}\vec{c}) = \frac{3(1-l)}{4}\vec{a} + \frac{1-l}{4}\vec{b} + \frac{3l}{4}\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{9k}{20} = \frac{3(1-l)}{4}$

$\frac{3k}{20} = \frac{1-l}{4}$

$\frac{2k}{5} = \frac{3l}{4}$

1つ目の式と2つ目の式より、$\frac{9k}{20} = 3(\frac{3k}{20})$となり、これは常に成り立つ。

2つ目の式より、$1-l = \frac{3k}{5}$

3つ目の式より、$l = \frac{8k}{15}$

$1-\frac{8k}{15} = \frac{3k}{5}$

$1 = \frac{8k}{15} + \frac{9k}{15} = \frac{17k}{15}$

$k = \frac{15}{17}$

よって、$\vec{OP} = \frac{15}{17}(\frac{9}{20}\vec{a} + \frac{3}{20}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}) = \frac{27}{68}\vec{a} + \frac{9}{68}\vec{b} + \frac{6}{17}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{ON} = \frac{9}{20}\vec{a} + \frac{3}{20}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

$\vec{OP} = \frac{27}{68}\vec{a} + \frac{9}{68}\vec{b} + \frac{6}{17}\vec{c}$