三角形ABCにおいて、辺cと角B, Cが与えられたとき、以下の問いに答えます。 (1) 辺aをc, B, Cで表す。 (2) $S = \frac{c^2 \sin B \sin(B+C)}{2 \sin C}$ を証明する。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺cと角B, Cが与えられたとき、以下の問いに答えます。

(1) 辺aをc, B, Cで表す。

(2) $S = \frac{c^2 \sin B \sin(B+C)}{2 \sin C}$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、 $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$。

$A = \pi - (B+C)$ より、 $\sin A = \sin(\pi - (B+C)) = \sin(B+C)$.

よって、 $\frac{a}{\sin(B+C)} = \frac{c}{\sin C}$.

したがって、$a = \frac{c \sin(B+C)}{\sin C}$.

(2) 三角形の面積の公式より、$S = \frac{1}{2}ac \sin B$.

(1)の結果を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c \sin(B+C)}{\sin C} \cdot c \sin B = \frac{c^2 \sin B \sin(B+C)}{2 \sin C}$.

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{c \sin(B+C)}{\sin C}$

(2)

(証明)

(1) より $S = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2} \cdot \frac{c \sin(B+C)}{\sin C} \cdot c \sin B$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin B}{\sin C} c^2 \sin(B+C) = \frac{c^2 \sin B \sin(B+C)}{2\sin C}$