2桁の正の整数があり、その各位の数字の和は12である。また、十の位の数字と一の位の数字を入れ替えると、元の整数よりも18大きくなる。元の整数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の正の整数があり、その各位の数字の和は12である。また、十の位の数字と一の位の数字を入れ替えると、元の整数よりも18大きくなる。元の整数を求めよ。

2. 解き方の手順

元の整数の十の位の数字を$x$、一の位の数字を$y$とする。

このとき、元の整数は$10x + y$と表せる。

問題文より、

各位の数字の和は12なので、

$x + y = 12$

十の位と一の位を入れ替えた整数は、$10y + x$ と表せる。

入れ替えた整数は元の整数より18大きくなるので、

$10y + x = 10x + y + 18$

これを整理すると

$9y - 9x = 18$

$y - x = 2$

$x + y = 12$と$y - x = 2$の連立方程式を解く。

$x + y = 12$

$y - x = 2$

2つの式を足すと

$2y = 14$

$y = 7$

$x + 7 = 12$

$x = 5$

したがって、元の整数は $10x + y = 10 \times 5 + 7 = 57$

3. 最終的な答え

57