(1) グラフが3点 $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 6)$ を通る2次関数を求める問題。 (2) グラフが3点 $(3, 0)$, $(0, -9)$, $(-2, 5)$ を通る2次関数を求める問題。 (3) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が $-2$ のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求める問題。 (4) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が $9$ のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求める問題。 (5) 2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するときの、定数 $a$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

(1) グラフが3点 $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 6)$ を通る2次関数を求める問題。

(2) グラフが3点 $(3, 0)$, $(0, -9)$, $(-2, 5)$ を通る2次関数を求める問題。

(3) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が $-2$ のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求める問題。

(4) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が $9$ のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求める問題。

(5) 2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するときの、定数 $a$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。与えられた3点の座標を代入して、$a$, $b$, $c$ を求める。

* $(1, 0)$ を代入: $a + b + c = 0$

* $(0, 1)$ を代入: $c = 1$

* $(-1, 6)$ を代入: $a - b + c = 6$

$c = 1$ を代入すると、$a + b = -1$ および $a - b = 5$ となる。この2式を足し合わせると、$2a = 4$ となり、$a = 2$ が得られる。すると、$b = -3$ となる。

よって、求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x + 1$ である。

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。与えられた3点の座標を代入して、$a$, $b$, $c$ を求める。

* $(3, 0)$ を代入: $9a + 3b + c = 0$

* $(0, -9)$ を代入: $c = -9$

* $(-2, 5)$ を代入: $4a - 2b + c = 5$

$c = -9$ を代入すると、$9a + 3b = 9$ および $4a - 2b = 14$ となる。

$9a + 3b = 9$ を 3 で割ると $3a + b = 3$ となる。

$4a - 2b = 14$ を 2 で割ると $2a - b = 7$ となる。

$3a + b = 3$ と $2a - b = 7$ を足し合わせると、$5a = 10$ となり、$a = 2$ が得られる。

$b = 3 - 3a = 3 - 6 = -3$

よって、求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x - 9$ である。

(3) $y = x^2 - 6x + a = (x - 3)^2 - 9 + a$ と変形できる。

$1 \le x \le 4$ における最小値は $x = 3$ のときで、$-9 + a = -2$ より $a = 7$ である。

最大値は $x = 1$ のときで、 $y = 1^2 - 6(1) + 7 = 1 - 6 + 7 = 2$ である。

(4) $y = x^2 + 2x + 2a = (x + 1)^2 - 1 + 2a$ と変形できる。

$-2 \le x \le 1$ における最大値は $x = 1$ のときで、$y = (1 + 1)^2 - 1 + 2a = 4 - 1 + 2a = 3 + 2a = 9$ より $2a = 6$ となり、$a = 3$ である。

最小値は $x = -1$ のときで、$y = (-1 + 1)^2 - 1 + 2(3) = -1 + 6 = 5$ である。

(5) 2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、判別式 $D = 0$ となる。

$D = (a-1)^2 - 4(1)(4) = (a-1)^2 - 16 = 0$

$(a-1)^2 = 16$

$a - 1 = \pm 4$

$a = 1 \pm 4$

$a = 5$ または $a = -3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 3x + 1$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 9$

(3) $a = 7$, 最大値は $2$

(4) $a = 3$, 最小値は $5$

(5) $a = 5, -3$