与えられた2次関数に関する問題を解きます。具体的には、頂点の座標、平行移動後の関数、最大値、x軸との共有点の個数、2次不等式の解を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数に関する問題を解きます。具体的には、頂点の座標、平行移動後の関数、最大値、x軸との共有点の個数、2次不等式の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 + 4x - 5$ の頂点を求める

平方完成します。

$y = 2(x^2 + 2x) - 5 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 5 = 2(x+1)^2 - 2 - 5 = 2(x+1)^2 - 7$

頂点は $(-1, -7)$

(2) $y = 2x^2$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-1$ 平行移動

$y = 2(x-3)^2 - 1$

(3) $y = -x^2 + 6x$ の最大値を求める

平方完成します。

$y = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x-3)^2 + 9$

最大値は $9$

(4) $y = 3x^2 - 5x + 2$ と $x$ 軸との共有点の個数

$y=0$ となる $x$ の実数解の個数を求めます。

判別式 $D = (-5)^2 - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1 > 0$ より、共有点は2個

(5) $y = -2x^2 + x - 4$ と $x$ 軸との共有点の個数

$y=0$ となる $x$ の実数解の個数を求めます。

判別式 $D = (1)^2 - 4(-2)(-4) = 1 - 32 = -31 < 0$ より、共有点は0個

(6) $x^2 + 6x - 16 \le 0$ の解

因数分解します。

$(x+8)(x-2) \le 0$

したがって $-8 \le x \le 2$

(7) $x^2 - x - 6 > 0$ の解

因数分解します。

$(x-3)(x+2) > 0$

したがって $x < -2$ または $x > 3$

3. 最終的な答え

(1) 頂点は $(-1, -7)$

(2) $y = 2(x-3)^2 - 1$

(3) 最大値は $9$

(4) 共有点は $2$ 個

(5) 共有点は $0$ 個

(6) $-8 \le x \le 2$

(7) $x < -2$ または $x > 3$