初項が50、公差が-3である等差数列{a_n}について、以下の問いに答える。 (1) 第何項が初めて負の数になるか。 (2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

1. 問題の内容

初項が50、公差が-3である等差数列{a_n}について、以下の問いに答える。

(1) 第何項が初めて負の数になるか。

(2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求め、それが負になるような最小の $n$ を求める。等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。

(2) 等差数列の和 $S_n$ を求め、$S_n$ が最大になるような $n$ を求める。和 $S_n$ は $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ で表される。または、数列の項が正である範囲で項を足し続けることで、和が最大になる項を求めることもできる。

(1)

一般項 $a_n$ は

$a_n = 50 + (n-1)(-3)$

$a_n = 50 - 3n + 3$

$a_n = 53 - 3n$

$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$53 - 3n < 0$

$53 < 3n$

$n > \frac{53}{3} = 17.666...$

したがって、初めて負になるのは第18項。

(2)

等差数列の和 $S_n$ は

$S_n = \frac{n}{2}(2(50) + (n-1)(-3))$

$S_n = \frac{n}{2}(100 - 3n + 3)$

$S_n = \frac{n}{2}(103 - 3n)$

$S_n$ が最大になるような $n$ を求める。

$a_n = 53 - 3n$ が正である範囲で項を足し続けることを考える。

$53 - 3n > 0$

$53 > 3n$

$n < \frac{53}{3} = 17.666...$

したがって、第17項までは正であり、第18項は負である。

よって、初項から第17項までの和が最大となる。

最大値 $S_{17}$ は

$S_{17} = \frac{17}{2}(103 - 3(17))$

$S_{17} = \frac{17}{2}(103 - 51)$

$S_{17} = \frac{17}{2}(52)$

$S_{17} = 17 \times 26 = 442$

3. 最終的な答え

(1) 第18項

(2) 第17項までの和が最大で、その和は442