与えられた数式の総和を計算します。数式は $\sum_{k=3}^{8} 2^{k-1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の総和を計算します。数式は $\sum_{k=3}^{8} 2^{k-1}$ です。

2. 解き方の手順

総和の計算は、等比数列の和の公式を用いて行います。

まず、与えられた数列の各項を書き出します。

$k = 3$ のとき、$2^{3-1} = 2^2 = 4$

$k = 4$ のとき、$2^{4-1} = 2^3 = 8$

$k = 5$ のとき、$2^{5-1} = 2^4 = 16$

$k = 6$ のとき、$2^{6-1} = 2^5 = 32$

$k = 7$ のとき、$2^{7-1} = 2^6 = 64$

$k = 8$ のとき、$2^{8-1} = 2^7 = 128$

したがって、数列は $4, 8, 16, 32, 64, 128$ となります。

これは初項 $a=4$、公比 $r=2$、項数 $n=6$ の等比数列です。

等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

です。

この公式に $a=4$, $r=2$, $n=6$ を代入すると、

$S_6 = \frac{4(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{4(64 - 1)}{1} = 4(63) = 252$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=3}^{8} 2^{k-1} = 252$