次の3つの和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$ (3) $\sum_{k=1}^{4} \frac{1}{4k}$

1. 問題の内容

次の3つの和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$

(3) $\sum_{k=1}^{4} \frac{1}{4k}$

2. 解き方の手順

(1)

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、

$2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n^2 + n + n = n^2 + 2n = n(n+2)$

(2)

$\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k-5) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - 5 \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、

$3 \sum_{k=1}^{n} k - 5 \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 5n = \frac{3n(n+1)}{2} - 5n = \frac{3n^2 + 3n}{2} - \frac{10n}{2} = \frac{3n^2 - 7n}{2} = \frac{n(3n-7)}{2}$

(3)

$\sum_{k=1}^{4} \frac{1}{4k}$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{4} \frac{1}{4k} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{k} = \frac{1}{4} ( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ) = \frac{1}{4} ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ) = \frac{1}{4} ( \frac{12}{12} + \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} ) = \frac{1}{4} ( \frac{25}{12} ) = \frac{25}{48}$

3. 最終的な答え

(1) $n(n+2)$

(2) $\frac{n(3n-7)}{2}$

(3) $\frac{25}{48}$