次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。 (1) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 4$ (2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} + a_n = 0$ (3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 5a_n - 28$ (4) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 5^{n-1}$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

(1) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 4$

(2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} + a_n = 0$

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 5a_n - 28$

(4) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 5^{n-1}$

2. 解き方の手順

(1) これは等差数列の問題です。初項 $a_1 = 3$, 公差 $d = 4$ の等差数列なので、一般項は次のようになります。

$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$

(2) これは $a_{n+1} = -a_n$ という漸化式なので、公比が -1 の等比数列です。初項 $a_1 = 2$ なので、一般項は次のようになります。

$a_n = a_1 \cdot (-1)^{n-1} = 2 \cdot (-1)^{n-1}$

(3) これは特性方程式を使うタイプの漸化式です。特性方程式を $x = 5x - 28$ とすると、$4x = 28$ より $x = 7$ となります。

したがって、$a_{n+1} - 7 = 5(a_n - 7)$ と変形できます。数列 $\{a_n - 7\}$ は、初項 $a_1 - 7 = 1 - 7 = -6$, 公比 5 の等比数列なので、$a_n - 7 = -6 \cdot 5^{n-1}$ となります。

よって、$a_n = -6 \cdot 5^{n-1} + 7$ となります。

(4) $a_{n+1} = a_n + 5^{n-1}$ より、$a_{n+1} - a_n = 5^{n-1}$ となります。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 5^{k-1} = 3 + \sum_{k=0}^{n-2} 5^k = 3 + \frac{1 - 5^{n-1}}{1 - 5} = 3 + \frac{5^{n-1} - 1}{4} = \frac{12 + 5^{n-1} - 1}{4} = \frac{5^{n-1} + 11}{4}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{5^0 + 11}{4} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$ となり、$n=1$ のときもこの式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4n - 1$

(2) $a_n = 2(-1)^{n-1}$

(3) $a_n = -6 \cdot 5^{n-1} + 7$

(4) $a_n = \frac{5^{n-1} + 11}{4}$