多項式 $P(x) = 2x^3 - x^2 + x - 5$ を、以下の1次式で割った余りをそれぞれ求める。 (1) $x - \frac{1}{2}$ (2) $x + 3$

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 2x^3 - x^2 + x - 5$ を、以下の1次式で割った余りをそれぞれ求める。

(1) $x - \frac{1}{2}$

(2) $x + 3$

2. 解き方の手順

剰余の定理を用いる。多項式 $P(x)$ を $x - a$ で割った余りは $P(a)$ である。

(1) $x - \frac{1}{2} = 0$ となる $x$ の値は $x = \frac{1}{2}$ である。したがって、余りは $P(\frac{1}{2})$ である。

$P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 - (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 5$

$= 2(\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 5$

$= \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 5$

$= \frac{1}{2} - 5$

$= \frac{1}{2} - \frac{10}{2}$

$= -\frac{9}{2}$

(2) $x + 3 = 0$ となる $x$ の値は $x = -3$ である。したがって、余りは $P(-3)$ である。

$P(-3) = 2(-3)^3 - (-3)^2 + (-3) - 5$

$= 2(-27) - 9 - 3 - 5$

$= -54 - 9 - 3 - 5$

$= -71$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{9}{2}$

(2) $-71$