問題文が複数あり、ここでは問題1, 2, 3を解きます。 問題1: 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A, B$ について $A \cap B = \{2, 4, 8\}, A \cup B^c = \{1, 2, 3, 4, 7, 8\}$ が成り立つとき、$A \cup B$ と $A$ を求めよ。 問題2: 実数全体の集合を全体集合とし、$A = \{x | -1 \le x < 5\}, B = \{x | -3 < x \le 4\}, C = A \cup B$ とするとき、$A \cap C$ と $A \cup C$ をそれぞれ求めよ。 問題3: $A = \{x | x > a\}, B = \{x | x < 8-4a+6a^2\}$ とするとき、$A \subset B$ となる定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

問題文が複数あり、ここでは問題1, 2, 3を解きます。

問題1: 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A, B$ について $A \cap B = \{2, 4, 8\}, A \cup B^c = \{1, 2, 3, 4, 7, 8\}$ が成り立つとき、$A \cup B$ と $A$ を求めよ。

問題2: 実数全体の集合を全体集合とし、$A = \{x | -1 \le x < 5\}, B = \{x | -3 < x \le 4\}, C = A \cup B$ とするとき、$A \cap C$ と $A \cup C$ をそれぞれ求めよ。

問題3: $A = \{x | x > a\}, B = \{x | x < 8-4a+6a^2\}$ とするとき、$A \subset B$ となる定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1:

* $A \cap B = \{2, 4, 8\}$ より、$2, 4, 8$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる。

* $A \cup B^c = \{1, 2, 3, 4, 7, 8\}$ より、$A$ には $1, 3, 7$ が含まれる可能性がある。また、$B^c$ には $1, 3, 7$ が含まれる可能性がある。

* $B^c = U - B$ なので、$B$ に含まれないものが $1, 3, 7$ である。

* $A$ の要素は、$2, 4, 8$ に $1, 3, 7$ の一部を加えたもの。

* $A \cup B^c = \{1, 2, 3, 4, 7, 8\}$より、$B$には$5, 6, 9$は含まれない。

* $A \cap B = \{2, 4, 8\}$ なので、$1, 3, 7$ は $B$ に含まれない。

* 従って、$A = \{1, 2, 3, 4, 7, 8\}$となる。$B = \{2,4,8\}$に、$A$にも$B^c$にも含まれない$5, 6, 9$を加えたものが全体集合から引かれるので、$B=\{2,4,5,6,8,9\}$となる。

* $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} = U$

問題2:

* $A = \{x | -1 \le x < 5\}$

* $B = \{x | -3 < x \le 4\}$

* $C = A \cup B = \{x | -3 < x < 5\}$

* $A \cap C = \{x | -1 \le x < 5\} \cap \{x | -3 < x < 5\} = \{x | -1 \le x < 5\} = A$

* $A \cup C = \{x | -1 \le x < 5\} \cup \{x | -3 < x < 5\} = \{x | -3 < x < 5\} = C$

問題3:

* $A = \{x | x > a\}$

* $B = \{x | x < 8-4a+6a^2\}$

* $A \subset B$ となるためには、$x > a$ ならば $x < 8-4a+6a^2$ である必要がある。これは、$a \ge 8-4a+6a^2$であればよい。

* $6a^2 - 5a + 8 \le 0$

* $6(a^2 - \frac{5}{6}a) + 8 \le 0$

* $6(a-\frac{5}{12})^2 - 6(\frac{25}{144}) + 8 \le 0$

* $6(a-\frac{5}{12})^2 + \frac{81}{24} \le 0$

* 上記の不等式は常に正なので、解なし

3. 最終的な答え

問題1: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, A = \{1, 2, 3, 4, 7, 8\}$

問題2: $A \cap C = \{x | -1 \le x < 5\}, A \cup C = \{x | -3 < x < 5\}$

問題3: 解なし