与えられた不等式を解く問題です。画像には3つの不等式が書かれています。 (1) $ \frac{1}{\sqrt{3}} < (\frac{1}{3})^x < 9 $ (2) $ 2^{4-x+1} > 0 $ (3) $ (\frac{1}{4})^x - 9(\frac{1}{2})^x + 32 \le 0 $

1. 問題の内容

与えられた不等式を解く問題です。画像には3つの不等式が書かれています。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}} < (\frac{1}{3})^x < 9$

(2) $2^{4-x+1} > 0$

(3) $(\frac{1}{4})^x - 9(\frac{1}{2})^x + 32 \le 0$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}} < (\frac{1}{3})^x < 9$

まず、$\frac{1}{\sqrt{3}}$ と $9$ を底が $\frac{1}{3}$ の指数で表します。

$\frac{1}{\sqrt{3}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}$

$9 = (\frac{1}{3})^{-2}$

したがって、不等式は

$(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} < (\frac{1}{3})^x < (\frac{1}{3})^{-2}$

底 $\frac{1}{3}$ は1より小さいので、指数部分の大小関係は逆になります。

$\frac{1}{2} > x > -2$

よって、$-2 < x < \frac{1}{2}$

(2) $2^{4-x+1} > 0$

$2^{4-x+1} = 2^{5-x} > 0$

指数関数は常に正の値をとるため、すべての実数 $x$ に対してこの不等式は成り立ちます。

よって、$x$ はすべての実数。

(3) $(\frac{1}{4})^x - 9(\frac{1}{2})^x + 32 \le 0$

$(\frac{1}{4})^x = ((\frac{1}{2})^2)^x = ((\frac{1}{2})^x)^2$なので、

$t = (\frac{1}{2})^x$とおくと、不等式は

$t^2 - 9t + 32 \le 0$

となります。この二次不等式を解きます。

$t^2 - 9t + 32 = (t - \frac{9}{2})^2 + 32 - (\frac{9}{2})^2 = (t - \frac{9}{2})^2 + 32 - \frac{81}{4} = (t - \frac{9}{2})^2 + \frac{128-81}{4} = (t - \frac{9}{2})^2 + \frac{47}{4}$

$(t - \frac{9}{2})^2 \ge 0$なので、$(t - \frac{9}{2})^2 + \frac{47}{4} > 0$となります。

したがって、$t^2 - 9t + 32 \le 0$ を満たす $t$ は存在しません。

よって、解なし。

3. 最終的な答え

(1) $-2 < x < \frac{1}{2}$

(2) $x$ はすべての実数

(3) 解なし