与えられた和 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 7^2 + \dots + n \cdot 7^{n-1}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた和 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 7^2 + \dots + n \cdot 7^{n-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き下します。

$$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 7^2 + \dots + n \cdot 7^{n-1}$$

次に、$7S$ を計算します。

$$7S = 1 \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 + 3 \cdot 7^3 + \dots + (n-1) \cdot 7^{n-1} + n \cdot 7^n$$

$S - 7S$ を計算します。

$$S - 7S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 7^2 + \dots + n \cdot 7^{n-1}) - (1 \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 + 3 \cdot 7^3 + \dots + (n-1) \cdot 7^{n-1} + n \cdot 7^n)$$

$$-6S = 1 \cdot 1 + (2-1) \cdot 7 + (3-2) \cdot 7^2 + \dots + (n-(n-1)) \cdot 7^{n-1} - n \cdot 7^n$$

$$-6S = 1 + 7 + 7^2 + \dots + 7^{n-1} - n \cdot 7^n$$

$1 + 7 + 7^2 + \dots + 7^{n-1}$ は、初項1、公比7の等比数列の和なので、

$$1 + 7 + 7^2 + \dots + 7^{n-1} = \frac{1(7^n - 1)}{7-1} = \frac{7^n - 1}{6}$$

したがって、

$$-6S = \frac{7^n - 1}{6} - n \cdot 7^n$$

$$-6S = \frac{7^n - 1 - 6n \cdot 7^n}{6}$$

$$S = \frac{6n \cdot 7^n - 7^n + 1}{36}$$

$$S = \frac{(6n-1)7^n + 1}{36}$$

3. 最終的な答え

$$S = \frac{(6n-1)7^n + 1}{36}$$