与えられた3つの不等式を解く問題です。 (1) $27^{\frac{1}{x}} < (\frac{1}{3}) < 9$ (2) $2^{4x} - 4^{x+1} > 0$ (3) $(\frac{1}{4})^x - 9(\frac{1}{2})^{x-1} + 32 \le 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの不等式を解く問題です。

(1) $27^{\frac{1}{x}} < (\frac{1}{3}) < 9$

(2) $2^{4x} - 4^{x+1} > 0$

(3) $(\frac{1}{4})^x - 9(\frac{1}{2})^{x-1} + 32 \le 0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式を指数形式で書き換えます。

$27^{\frac{1}{x}} = (3^3)^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{3}{x}}$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

$9 = 3^2$

したがって、不等式は次のようになります。

$3^{\frac{3}{x}} < 3^{-1} < 3^2$

指数関数の底が3で1より大きいので、指数の大小関係は元の不等式と同じです。

$\frac{3}{x} < -1 < 2$

この不等式は、次の2つの不等式に分解できます。

$\frac{3}{x} < -1$ と $-1 < 2$

$\frac{3}{x} < -1$

$\frac{3}{x} + 1 < 0$

$\frac{3+x}{x} < 0$

この不等式が成立するためには、$x$と$x+3$の符号が異なる必要があります。

したがって、$x < -3$ または $0 < x$。

$-1 < 2$ は常に成立します。

したがって、$x<-3$ または $0<x$ を満たす必要があります。

(2)

$2^{4x} - 4^{x+1} > 0$

$2^{4x} - (2^2)^{x+1} > 0$

$2^{4x} - 2^{2x+2} > 0$

$2^{4x} > 2^{2x+2}$

指数関数の底が2で1より大きいので、指数の大小関係は元の不等式と同じです。

$4x > 2x + 2$

$2x > 2$

$x > 1$

(3)

$(\frac{1}{4})^x - 9(\frac{1}{2})^{x-1} + 32 \le 0$

$(\frac{1}{2})^{2x} - 9(\frac{1}{2})^x(\frac{1}{2})^{-1} + 32 \le 0$

$(\frac{1}{2})^{2x} - 18(\frac{1}{2})^x + 32 \le 0$

$t = (\frac{1}{2})^x$ とおくと、$t > 0$ であり、不等式は次のようになります。

$t^2 - 18t + 32 \le 0$

$(t-2)(t-16) \le 0$

$2 \le t \le 16$

$2 \le (\frac{1}{2})^x \le 16$

$2 \le 2^{-x} \le 2^4$

$2^1 \le 2^{-x} \le 2^4$

指数関数の底が2で1より大きいので、指数の大小関係は元の不等式と同じです。

$1 \le -x \le 4$

$-4 \le x \le -1$

3. 最終的な答え

(1) $x < -3$ または $x > 0$

(2) $x > 1$

(3) $-4 \le x \le -1$