(1) 和 $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$ を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ は初項 2, 公差 7 の等差数列, 数列 $\{b_n\}$ は初項 1, 公比 2 の等比数列とする. 数列 $\{c_n\}$ の第 $n$ 項を $c_n = a_n b_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) と定義する. 数列 $\{c_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を $n$ を用いた式で表し、また $S_n = 133132$ となる $n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 和 $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$ を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ は初項 2, 公差 7 の等差数列, 数列 $\{b_n\}$ は初項 1, 公比 2 の等比数列とする. 数列 $\{c_n\}$ の第 $n$ 項を $c_n = a_n b_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) と定義する. 数列 $\{c_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を $n$ を用いた式で表し、また $S_n = 133132$ となる $n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$ を計算する。まず、$(2k-1)^2$ を展開する。

$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を用いて、

$4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) + n$

$= \frac{n}{3} [2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3] = \frac{n}{3} [2(2n^2+3n+1) - 6n - 6 + 3]$

$= \frac{n}{3} [4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3] = \frac{n}{3} (4n^2 - 1) = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $a_n = 2 + (n-1)7 = 7n - 5$

$b_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$

$c_n = a_n b_n = (7n-5)2^{n-1}$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (7k-5)2^{k-1}$

$S_n = 2 + 9 \cdot 2 + 16 \cdot 2^2 + 23 \cdot 2^3 + \dots + (7n-5)2^{n-1}$

$2S_n = 2 \cdot 2 + 9 \cdot 2^2 + 16 \cdot 2^3 + \dots + (7n-12)2^{n-1} + (7n-5)2^{n}$

$-S_n = 2 + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + 7 \cdot 2^{n-1} - (7n-5)2^{n}$

$-S_n = 2 + 7 \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - (7n-5)2^n = 2 + 7 \cdot \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} - (7n-5)2^n$

$-S_n = 2 + 14(2^{n-1}-1) - (7n-5)2^n = 2 + 7 \cdot 2^n - 14 - (7n-5)2^n$

$-S_n = (7 - 7n + 5)2^n - 12 = (12 - 7n)2^n - 12$

$S_n = (7n-12)2^n + 12$

$S_n = 133132$

$(7n-12)2^n + 12 = 133132$

$(7n-12)2^n = 133120$

$n=1 \implies (7-12)2^1 = -10$

$n=2 \implies (14-12)2^2 = 8$

$n=3 \implies (21-12)2^3 = 9 \cdot 8 = 72$

$n=4 \implies (28-12)2^4 = 16 \cdot 16 = 256$

$n=5 \implies (35-12)2^5 = 23 \cdot 32 = 736$

$n=6 \implies (42-12)2^6 = 30 \cdot 64 = 1920$

$n=7 \implies (49-12)2^7 = 37 \cdot 128 = 4736$

$n=8 \implies (56-12)2^8 = 44 \cdot 256 = 11264$

$n=9 \implies (63-12)2^9 = 51 \cdot 512 = 26112$

$n=10 \implies (70-12)2^{10} = 58 \cdot 1024 = 59472$

$n=11 \implies (77-12)2^{11} = 65 \cdot 2048 = 133120$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $S_n = (7n-12)2^n + 12$

$n = 11$