(1) $\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1}$ を計算しなさい。 (2) (1)の結果を利用して、$S = \frac{1}{1\cdot5} + \frac{1}{5\cdot9} + \frac{1}{9\cdot13} + \cdots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1}$ を計算しなさい。

(2) (1)の結果を利用して、$S = \frac{1}{1\cdot5} + \frac{1}{5\cdot9} + \frac{1}{9\cdot13} + \cdots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた式を通分して計算します。

$\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} = \frac{(4k+1) - (4k-3)}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{4k+1-4k+3}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{4}{(4k-3)(4k+1)}$

(2) (1)の結果から、$\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$ がわかります。

$S = \frac{1}{1\cdot5} + \frac{1}{5\cdot9} + \frac{1}{9\cdot13} + \cdots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$

$= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{13} \right) + \cdots + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right)$

$= \frac{1}{4} \left( \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{13} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right) \right)$

これは、隣り合う項が打ち消し合う、いわゆるtelescoping sum（望遠鏡和）です。

$S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+1-1}{4n+1} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4n}{4n+1} = \frac{n}{4n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{(4k-3)(4k+1)}$

(2) $\frac{n}{4n+1}$