与えられた2つの2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ と $g(x) = 2x^2 - ax + a - 1$ に関して、以下の問題を解く。 (1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。 (2) $y = g(x)$ のグラフがx軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。 (3) $y = g(x)$ のグラフが、(1)で求めた $x$ の値の範囲において、x軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ と $g(x) = 2x^2 - ax + a - 1$ に関して、以下の問題を解く。

(1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。

(2) $y = g(x)$ のグラフがx軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

(3) $y = g(x)$ のグラフが、(1)で求めた $x$ の値の範囲において、x軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) < 0$ を解く。

$f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ より、

$(x-1)(x-3) < 0$ を解くと、 $1 < x < 3$ となる。

(2) $y = g(x)$ のグラフがx軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ である。

$g(x) = 2x^2 - ax + a - 1$ より、

$D = (-a)^2 - 4(2)(a-1) = a^2 - 8a + 8$

$D > 0$ より、 $a^2 - 8a + 8 > 0$ を解く。

$a^2 - 8a + 8 = 0$ の解は、

$a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、$a < 4 - 2\sqrt{2}$ または $a > 4 + 2\sqrt{2}$

(3) $y = g(x)$ のグラフが $1 < x < 3$ の範囲でx軸と異なる2点で交わる条件を考える。

$g(1) = 2 - a + a - 1 = 1 > 0$

$g(3) = 2(9) - 3a + a - 1 = 18 - 2a - 1 = 17 - 2a$

$g(3) > 0$ より $17 - 2a > 0$ つまり $2a < 17$ なので $a < \frac{17}{2} = 8.5$

$y = g(x)$ の軸は $x = \frac{a}{4}$ であり、$1 < \frac{a}{4} < 3$ より $4 < a < 12$

(2)の結果 $a < 4 - 2\sqrt{2}$ または $a > 4 + 2\sqrt{2}$ 、$a < 8.5$、$4 < a < 12$を合わせると、$4+2\sqrt{2} < a < 8.5$と$4<a<4-2\sqrt{2}$はない。したがって

$4 + 2\sqrt{2} < a < 8.5$

3. 最終的な答え

(1) $1 < x < 3$

(2) $a < 4 - 2\sqrt{2}$ または $a > 4 + 2\sqrt{2}$

(3) $4 + 2\sqrt{2} < a < \frac{17}{2}$