与えられたシグマ記号で表された和を、具体的な項の和の形で書き下す問題です。具体的には以下の3つの問題を解きます。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$ (2) $\sum_{k=3}^{8} 2^{k-1}$ (3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

1. 問題の内容

与えられたシグマ記号で表された和を、具体的な項の和の形で書き下す問題です。具体的には以下の3つの問題を解きます。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$

(2) $\sum_{k=3}^{8} 2^{k-1}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$

$k$ に $1$ から $n$ までの整数を順に代入し、それらを足し合わせます。

(2) $\sum_{k=3}^{8} 2^{k-1}$

$k$ に $3$ から $8$ までの整数を順に代入し、$2^{k-1}$ を計算し、それらを足し合わせます。

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

$k$ に $1$ から $n$ までの整数を順に代入し、$\frac{1}{k}$ を計算し、それらを足し合わせます。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)$

(2) $\sum_{k=3}^{8} 2^{k-1} = 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 = 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$