初項が $50$ の等差数列 $\{a_n\}$ において、第 $9$ 項から第 $18$ 項までの和が $0$ であるとき、初項から第 $n$ 項までの和の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

初項が $50$ の等差数列 $\{a_n\}$ において、第 $9$ 項から第 $18$ 項までの和が $0$ であるとき、初項から第 $n$ 項までの和の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の初項を $a = 50$、公差を $d$ とする。

第 $9$ 項から第 $18$ 項までの和が $0$ であることから、$a_9 + a_{10} + \dots + a_{18} = 0$ が成り立つ。

等差数列の和の公式を利用すると、

$\frac{10}{2}(a_9 + a_{18}) = 0$

$5(a_9 + a_{18}) = 0$

$a_9 + a_{18} = 0$

$a_9 = a + 8d = 50 + 8d$

$a_{18} = a + 17d = 50 + 17d$

$50 + 8d + 50 + 17d = 0$

$100 + 25d = 0$

$25d = -100$

$d = -4$

したがって、等差数列 $\{a_n\}$ は、初項 $50$、公差 $-4$ である。

$a_n = a + (n-1)d = 50 + (n-1)(-4) = 50 - 4n + 4 = 54 - 4n$

初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2(50) + (n-1)(-4)) = \frac{n}{2}(100 - 4n + 4) = \frac{n}{2}(104 - 4n) = n(52 - 2n) = -2n^2 + 52n$

$S_n$ が最大となる $n$ を求める。$S_n$ は $n$ の二次関数なので、平方完成を行う。

$S_n = -2(n^2 - 26n) = -2(n^2 - 26n + 169 - 169) = -2((n-13)^2 - 169) = -2(n-13)^2 + 338$

$S_n$ は $n=13$ のとき最大値 $338$ をとる。

また、$a_n = 54 - 4n$ なので、 $a_n > 0$ となる $n$ を求めると、

$54 - 4n > 0$

$54 > 4n$

$n < \frac{54}{4} = 13.5$

よって、$n \le 13$ のとき $a_n > 0$ となる。つまり、第13項までは正の数で、第14項から負の数になる。したがって、$S_n$ が最大になるのは $n=13$ のときである。

$S_{13} = \frac{13}{2}(a_1 + a_{13}) = \frac{13}{2}(50 + 54 - 4(13)) = \frac{13}{2}(50 + 54 - 52) = \frac{13}{2}(52) = 13 \cdot 26 = 338$

3. 最終的な答え

338