問題は、与えられた数列の和を求めることです。具体的には、以下の2つの和を計算します。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた数列の和を求めることです。具体的には、以下の2つの和を計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$ について：

これは等比数列の和の形をしています。初項 $a$、公比 $r$、項数 $n$ の等比数列の和は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

で計算できます。

この問題では、初項は $k=1$ のとき $2 \cdot 5^{1-1} = 2 \cdot 5^0 = 2 \cdot 1 = 2$ なので、$a=2$。

公比は $5$ なので、$r=5$。

項数は $n$ なので、そのまま $n$。

したがって、和は

$S_n = \frac{2(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{2(5^n - 1)}{4} = \frac{5^n - 1}{2}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$ について：

これも等比数列の和の形をしています。初項 $a$、公比 $r$、項数 $n$ の等比数列の和は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

で計算できます。

この問題では、初項は $k=1$ のとき $3^{1-1} = 3^0 = 1$ なので、$a=1$。

公比は $3$ なので、$r=3$。

項数は $n$ なので、そのまま $n$。

したがって、和は

$S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5^n - 1}{2}$

(2) $\frac{3^n - 1}{2}$