初項が50である等差数列 $\{a_n\}$ において、第9項から第18項までの和が0であるとき、初項から第 $n$ 項までの和の最大値を求める。

1. 問題の内容

初項が50である等差数列 $\{a_n\}$ において、第9項から第18項までの和が0であるとき、初項から第 $n$ 項までの和の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から等差数列の公差 $d$ を求める。

第9項から第18項までの和が0であるという条件は、

$\sum_{k=9}^{18} a_k = 0$

と表せる。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ であり、等差数列の和は

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

である。

第9項から第18項までの和は、初項から第18項までの和から初項から第8項までの和を引いたものであるから、

$S_{18} - S_8 = 0$

$\frac{18}{2} (2a_1 + 17d) - \frac{8}{2}(2a_1 + 7d) = 0$

$9(2a_1 + 17d) - 4(2a_1 + 7d) = 0$

$18a_1 + 153d - 8a_1 - 28d = 0$

$10a_1 + 125d = 0$

$2a_1 + 25d = 0$

$a_1 = 50$ を代入すると、

$2(50) + 25d = 0$

$100 + 25d = 0$

$25d = -100$

$d = -4$

したがって、数列の一般項は $a_n = 50 + (n-1)(-4) = 50 - 4n + 4 = 54 - 4n$ である。

数列の和 $S_n$ は $S_n = \frac{n}{2}(2(50) + (n-1)(-4)) = \frac{n}{2}(100 - 4n + 4) = \frac{n}{2}(104 - 4n) = n(52 - 2n) = 52n - 2n^2$ である。

$S_n$ が最大となる $n$ を求める。$S_n$ を $n$ の関数と見て平方完成すると、

$S_n = -2(n^2 - 26n) = -2((n - 13)^2 - 13^2) = -2(n - 13)^2 + 2(169) = -2(n - 13)^2 + 338$

したがって、$S_n$ は $n = 13$ のとき最大値 $338$ をとる。

また、$a_n = 54 - 4n$ であるから、

$a_n > 0$ となるのは $54 - 4n > 0$ より $4n < 54$ なので $n < \frac{54}{4} = 13.5$ である。

したがって、$a_{13} > 0$ かつ $a_{14} < 0$ である。

$S_n$ が最大となるのは、$a_n$ が正である項の和であるから、$n=13$ のとき最大となる。

$S_{13} = 13(52 - 2(13)) = 13(52 - 26) = 13(26) = 338$

3. 最終的な答え

338