与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 2k + 3)$ を計算し、$\frac{n}{\text{オ}}(\text{カ}n^2 + \text{キ}n + \text{ク})$ の形で表すときの、オ、カ、キ、クに当てはまる数字を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 2k + 3)$ を計算し、$\frac{n}{\text{オ}}(\text{カ}n^2 + \text{キ}n + \text{ク})$ の形で表すときの、オ、カ、キ、クに当てはまる数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 2k + 3)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} 3k^2 = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 2k = 2\sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 2k + 3) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1) + 3n$

$= \frac{n}{2} [(n+1)(2n+1) + 2(n+1) + 6]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 + 3n + 1 + 2n + 2 + 6]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 + 5n + 9]$

よって、$\frac{n}{\text{オ}}(\text{カ}n^2 + \text{キ}n + \text{ク}) = \frac{n}{2}(2n^2 + 5n + 9)$ と比較すると、

オ = 2、カ = 2、キ = 5、ク = 9 となります。

3. 最終的な答え

オ = 2

カ = 2

キ = 5

ク = 9