複素数 $z$ が $z + \frac{4}{z} = 2$ を満たすとき、$|z|$ の値を求め、$z$ を極形式で表す。ただし、$0^\circ \le \arg z \le 180^\circ$ とする。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $z + \frac{4}{z} = 2$ を満たすとき、$|z|$ の値を求め、$z$ を極形式で表す。ただし、$0^\circ \le \arg z \le 180^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

与えられた式 $z + \frac{4}{z} = 2$ の両辺に $z$ を掛ける（$z \neq 0$）。

$$z^2 + 4 = 2z$$

この式を整理すると、

$$z^2 - 2z + 4 = 0$$

これは $z$ についての二次方程式である。解の公式を用いて $z$ を求める。

$$z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$$

$z = 1 + \sqrt{3}i$ または $z = 1 - \sqrt{3}i$ である。

それぞれの絶対値を計算する。

$$|1 + \sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

$$|1 - \sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

よって、$|z| = 2$ である。

次に、$z$ を極形式で表す。$z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ とすると、$r = |z| = 2$ である。

$z = 1 + \sqrt{3}i$ のとき、

$$\cos \theta = \frac{1}{2}, \quad \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

よって、$\theta = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$ である。

したがって、$z = 2(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ)$ である。

$z = 1 - \sqrt{3}i$ のとき、

$$\cos \theta = \frac{1}{2}, \quad \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

よって、$\theta = -\frac{\pi}{3} = -60^\circ$ である。

問題文より、$0^\circ \le \arg z \le 180^\circ$ なので、偏角は$-60^\circ$ではなく、$360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$であると考えることができる。しかし、$180^\circ$以下という条件を満たさない。

問題の与えられた複素数 $z$ について、$z = 1-\sqrt{3}i$ となる場合の偏角は指定された範囲にはない。

3. 最終的な答え

$|z| = 2$

$z = 2(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ)$