与えられた2次式 $4x^2 + 8x - 21$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $4x^2 + 8x - 21$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次式 $4x^2 + 8x - 21$ を因数分解します。

たすき掛けを利用します。

$4x^2$ の項は、$4x \times x$ または $2x \times 2x$ に分解できます。

$-21$ の項は、$7 \times -3$ または $-7 \times 3$ 、 $21 \times -1$ または $-21 \times 1$ に分解できます。

これらの組み合わせの中から、たすき掛けによって $8x$ の項を作り出せる組み合わせを探します。

$2x$ と $2x$ の組み合わせでは $8x$ を作れないため、$4x$ と $x$ の組み合わせを考えます。

$4x \times 3 = 12x$

$x \times -7 = -7x$

$12x - 7x = 5x$

$4x \times -3 = -12x$

$x \times 7 = 7x$

$-12x + 7x = -5x$

$4x \times 7 = 28x$

$x \times -3 = -3x$

$28x - 3x = 25x$

$4x \times -7 = -28x$

$x \times 3 = 3x$

$-28x + 3x = -25x$

$2x$ と $2x$ の組み合わせでは $8x$ を作れないと書きましたが、$2x \times -3.5$ で $-7x$がでるので

$2x \times 3.5 = 7x$

$2x \times -3 = -6x$

$7x - 6x = x$

別の方法として、解の公式を使うことを考えます。

$4x^2+8x-21=0$ の解は

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21)}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 336}}{8} = \frac{-8 \pm \sqrt{400}}{8} = \frac{-8 \pm 20}{8}$

$x_1 = \frac{-8+20}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-8-20}{8} = \frac{-28}{8} = -\frac{7}{2}$

よって、$4x^2+8x-21 = 4(x-\frac{3}{2})(x+\frac{7}{2}) = (2x-3)(2x+7)$

最終的に以下の式が得られます。

$(2x - 3)(2x + 7)$

3. 最終的な答え

$(2x-3)(2x+7)$