与えられた数式を計算し、最も簡単な形で表現します。 (1) $\frac{x}{x-2} \times \frac{1}{x^2 - x}$ (2) $\frac{2x^2 + 8x}{x^2 - x - 2} \times \frac{x^2 - 4}{x + 4}$ (3) $\frac{1}{2x^2 - 10x} \div \frac{1}{4x^2 + 8x}$ (4) $\frac{x^2 - 2x}{x^2 + 5x + 6} \div \frac{2x - 4}{x + 2}$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算し、最も簡単な形で表現します。

(1) $\frac{x}{x-2} \times \frac{1}{x^2 - x}$

(2) $\frac{2x^2 + 8x}{x^2 - x - 2} \times \frac{x^2 - 4}{x + 4}$

(3) $\frac{1}{2x^2 - 10x} \div \frac{1}{4x^2 + 8x}$

(4) $\frac{x^2 - 2x}{x^2 + 5x + 6} \div \frac{2x - 4}{x + 2}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - x = x(x-1)$

次に、式を整理します。

$\frac{x}{x-2} \times \frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{(x-2)(x-1)}$

(2)

まず、分子と分母を因数分解します。

$2x^2 + 8x = 2x(x + 4)$

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

次に、式を整理します。

$\frac{2x(x + 4)}{(x - 2)(x + 1)} \times \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 4} = \frac{2x(x + 2)}{x + 1}$

(3)

まず、割り算を掛け算に変換します。

$\frac{1}{2x^2 - 10x} \div \frac{1}{4x^2 + 8x} = \frac{1}{2x^2 - 10x} \times \frac{4x^2 + 8x}{1}$

次に、分子と分母を因数分解します。

$2x^2 - 10x = 2x(x - 5)$

$4x^2 + 8x = 4x(x + 2)$

次に、式を整理します。

$\frac{4x(x + 2)}{2x(x - 5)} = \frac{2(x + 2)}{x - 5}$

(4)

まず、割り算を掛け算に変換します。

$\frac{x^2 - 2x}{x^2 + 5x + 6} \div \frac{2x - 4}{x + 2} = \frac{x^2 - 2x}{x^2 + 5x + 6} \times \frac{x + 2}{2x - 4}$

次に、分子と分母を因数分解します。

$x^2 - 2x = x(x - 2)$

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

$2x - 4 = 2(x - 2)$

次に、式を整理します。

$\frac{x(x - 2)}{(x + 2)(x + 3)} \times \frac{x + 2}{2(x - 2)} = \frac{x}{2(x + 3)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{(x-2)(x-1)}$

(2) $\frac{2x(x + 2)}{x + 1}$

(3) $\frac{2(x + 2)}{x - 5}$

(4) $\frac{x}{2(x + 3)}$