方程式 $3^{x+2} + 3^{-x} = 10$ を解く。

1. 問題の内容

方程式 $3^{x+2} + 3^{-x} = 10$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形する。

$3^{x+2}$ は $3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$ と書ける。

$3^{-x}$ は $\frac{1}{3^x}$ と書ける。

よって、方程式は

$$9 \cdot 3^x + \frac{1}{3^x} = 10$$

となる。

ここで、$t = 3^x$ と置換すると、$t > 0$ であり、方程式は

$$9t + \frac{1}{t} = 10$$

となる。

両辺に $t$ を掛けて整理すると、

$$9t^2 + 1 = 10t$$

$$9t^2 - 10t + 1 = 0$$

この二次方程式を解く。因数分解すると

$$(9t - 1)(t - 1) = 0$$

よって、$t = 1$ または $t = \frac{1}{9}$ である。

$t = 3^x$ なので、

$3^x = 1$ のとき、$x = 0$。

$3^x = \frac{1}{9}$ のとき、$3^x = 3^{-2}$ なので、$x = -2$。

3. 最終的な答え

$x = 0, -2$