以下の3つの式を展開します。 (1) $(a-3)(a+3)(a^2+9)$ (3) $(x-7)(x-3)(x+1)(x+5)$ (5) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの式を展開します。

(1) $(a-3)(a+3)(a^2+9)$

(3) $(x-7)(x-3)(x+1)(x+5)$

(5) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)$

2. 解き方の手順

(1) $(a-3)(a+3)(a^2+9)$を展開します。

まず、$(a-3)(a+3)$を計算します。これは和と差の積の公式$(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$を利用します。

$(a-3)(a+3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$

次に、$(a^2 - 9)(a^2 + 9)$を計算します。再び和と差の積の公式を利用します。

$(a^2 - 9)(a^2 + 9) = (a^2)^2 - 9^2 = a^4 - 81$

(3) $(x-7)(x-3)(x+1)(x+5)$を展開します。

適切な組み合わせを見つけるために、定数項の和が等しくなるように組み合わせます。

$(x-7)(x+1) = x^2 - 6x - 7$

$(x-3)(x+5) = x^2 + 2x - 15$

これらを掛け合わせると計算が複雑になるので別の組み合わせを試します。

$(x-7)(x+5) = x^2 -2x -35$

$(x-3)(x+1) = x^2 -2x -3$

$(x^2 -2x -35)(x^2 -2x -3)$

$A = x^2-2x$とおくと、

$(A - 35)(A - 3) = A^2 - 38A + 105$

ここでAをもとに戻すと、

$(x^2-2x)^2 - 38(x^2 -2x) + 105 = x^4 -4x^3 +4x^2 - 38x^2 +76x + 105$

$=x^4 -4x^3 - 34x^2 +76x + 105$

(5) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)$を展開します。

$(x+1)(x-2) = x^2 -x -2$

$(x+3)(x-4) = x^2 -x -12$

$(x^2 -x -2)(x^2 -x -12)$

$B = x^2 -x$とおくと、

$(B - 2)(B - 12) = B^2 - 14B + 24$

ここでBをもとに戻すと、

$(x^2 -x)^2 - 14(x^2 -x) + 24 = x^4 -2x^3 + x^2 - 14x^2 + 14x + 24$

$= x^4 -2x^3 -13x^2 + 14x + 24$

3. 最終的な答え

(1) $a^4 - 81$

(3) $x^4 - 4x^3 - 34x^2 + 76x + 105$

(5) $x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$