与えられた式 $(a-3)(a-4)(a-5)(a-6)$ を展開しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-3)(a-4)(a-5)(a-6)$ を展開しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$(a-3)(a-6)$ と $(a-4)(a-5)$ をそれぞれ展開します。

$(a-3)(a-6) = a^2 - 6a - 3a + 18 = a^2 - 9a + 18$

$(a-4)(a-5) = a^2 - 5a - 4a + 20 = a^2 - 9a + 20$

次に、得られた式 $(a^2 - 9a + 18)$ と $(a^2 - 9a + 20)$ を掛け合わせます。

ここで、$x = a^2 - 9a$ と置くと、

$(a^2 - 9a + 18)(a^2 - 9a + 20) = (x+18)(x+20) = x^2 + 20x + 18x + 360 = x^2 + 38x + 360$

$x$ を $a^2 - 9a$ に戻します。

$(a^2 - 9a)^2 + 38(a^2 - 9a) + 360 = (a^4 - 18a^3 + 81a^2) + (38a^2 - 342a) + 360$

$= a^4 - 18a^3 + 81a^2 + 38a^2 - 342a + 360$

$= a^4 - 18a^3 + 119a^2 - 342a + 360$

3. 最終的な答え

$a^4 - 18a^3 + 119a^2 - 342a + 360$