問題は、与えられた有理式を計算することです。 (1) $\frac{3}{4x} + \frac{1}{x+2}$ (2) $\frac{3}{x+6} - \frac{1}{x-5}$ (3) $\frac{2}{(x+1)(x+2)} + \frac{3x}{(x-1)(x+2)}$ (4) $\frac{2}{x^2-4} + \frac{x+1}{x^2+2x}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた有理式を計算することです。

(1) $\frac{3}{4x} + \frac{1}{x+2}$

(2) $\frac{3}{x+6} - \frac{1}{x-5}$

(3) $\frac{2}{(x+1)(x+2)} + \frac{3x}{(x-1)(x+2)}$

(4) $\frac{2}{x^2-4} + \frac{x+1}{x^2+2x}$

2. 解き方の手順

(1) 通分して計算します。

$$\frac{3}{4x} + \frac{1}{x+2} = \frac{3(x+2)}{4x(x+2)} + \frac{4x}{4x(x+2)} = \frac{3x+6+4x}{4x(x+2)} = \frac{7x+6}{4x(x+2)} = \frac{7x+6}{4x^2+8x}$$

(2) 通分して計算します。

$$\frac{3}{x+6} - \frac{1}{x-5} = \frac{3(x-5)}{(x+6)(x-5)} - \frac{x+6}{(x+6)(x-5)} = \frac{3x-15 - (x+6)}{(x+6)(x-5)} = \frac{3x-15-x-6}{(x+6)(x-5)} = \frac{2x-21}{x^2+x-30}$$

(3) 通分して計算します。

$$\frac{2}{(x+1)(x+2)} + \frac{3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{2(x-1)}{(x+1)(x+2)(x-1)} + \frac{3x(x+1)}{(x-1)(x+2)(x+1)} = \frac{2(x-1) + 3x(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)} = \frac{2x-2+3x^2+3x}{(x^2-1)(x+2)} = \frac{3x^2+5x-2}{x^3+2x^2-x-2} = \frac{(3x-1)(x+2)}{(x^2-1)(x+2)}=\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{x^2-1}$$

(4) 通分して計算します。まず、$x^2-4 = (x-2)(x+2)$, $x^2+2x = x(x+2)$ であることに注意します。

$$\frac{2}{x^2-4} + \frac{x+1}{x^2+2x} = \frac{2}{(x-2)(x+2)} + \frac{x+1}{x(x+2)} = \frac{2x}{x(x-2)(x+2)} + \frac{(x+1)(x-2)}{x(x+2)(x-2)} = \frac{2x+x^2-x-2}{x(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+x-2}{x(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2)(x-1)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{x-1}{x(x-2)} = \frac{x-1}{x^2-2x}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7x+6}{4x^2+8x}$

(2) $\frac{2x-21}{x^2+x-30}$

(3) $\frac{3x-1}{x^2-1}$

(4) $\frac{x-1}{x^2-2x}$