与えられた式 $x^2 + (-y-1)x - (2y^2 - 5y + 2)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + (-y-1)x - (2y^2 - 5y + 2)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開する。

$x^2 + (-y-1)x - (2y^2 - 5y + 2) = x^2 - (y+1)x - (2y^2 - 5y + 2)$.

次に、定数項の $-(2y^2 - 5y + 2)$ を因数分解する。

$2y^2 - 5y + 2 = (2y - 1)(y - 2)$なので、

$-(2y^2 - 5y + 2) = -(2y - 1)(y - 2) = (1-2y)(y-2)$.

したがって、与えられた式は

$x^2 - (y+1)x - (2y - 1)(y - 2) = x^2 - (y+1)x + (1 - 2y)(y - 2)$.

この式を $x$ に関する2次式とみなし、$x^2 + bx + c$ の形と比較すると、$b = -(y+1)$、$c = -(2y - 1)(y - 2)$である。

因数分解は $(x + A)(x + B)$ の形になると仮定すると、$A + B = -(y+1)$、$AB = -(2y - 1)(y - 2)$を満たす $A$ と $B$ を見つける必要がある。

$A = (y - 2)$、$B = (1 - 2y)$ とすると、

$A + B = (y - 2) + (1 - 2y) = -y - 1 = -(y+1)$.

$AB = (y - 2)(1 - 2y) = -2y^2 + 5y - 2 = -(2y^2 - 5y + 2)$.

したがって、$A = (y - 2)$、$B = (1 - 2y)$ とおくことができる。

すると、$x^2 - (y+1)x - (2y^2 - 5y + 2) = (x + (y - 2))(x - (2y - 1)) = (x + y - 2)(x - 2y + 1)$.

3. 最終的な答え

$(x + y - 2)(x - 2y + 1)$