次の2次不等式を解きます。 (1) $x^2 - 5x + 6 \le 0$ (2) $6x^2 - 7x + 2 \ge 0$ (3) $x^2 - 6x + 3 > 0$ (4) $-x^2 + 2.5x - 0.5 > 0$

## 解答

1. 問題の内容

次の2次不等式を解きます。

(1) $x^2 - 5x + 6 \le 0$

(2) $6x^2 - 7x + 2 \ge 0$

(3) $x^2 - 6x + 3 > 0$

(4) $-x^2 + 2.5x - 0.5 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 5x + 6 \le 0$

因数分解すると、$(x-2)(x-3) \le 0$ となります。

$x-2=0$ と $x-3=0$ の解はそれぞれ $x=2$ と $x=3$ です。

$2 \le x \le 3$ が不等式の解となります。

(2) $6x^2 - 7x + 2 \ge 0$

因数分解すると、$(2x-1)(3x-2) \ge 0$ となります。

$2x-1=0$ と $3x-2=0$ の解はそれぞれ $x=\frac{1}{2}$ と $x=\frac{2}{3}$ です。

$x \le \frac{1}{2}$ または $x \ge \frac{2}{3}$ が不等式の解となります。

(3) $x^2 - 6x + 3 > 0$

解の公式を使って、$x^2 - 6x + 3 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$

したがって、$x < 3 - \sqrt{6}$ または $x > 3 + \sqrt{6}$ が不等式の解となります。

(4) $-x^2 + 2.5x - 0.5 > 0$

両辺に -1 をかけて符号を反転させると、$x^2 - 2.5x + 0.5 < 0$ となります。

さらに両辺に 2 をかけると、$2x^2 - 5x + 1 < 0$ となります。

解の公式を使って、$2x^2 - 5x + 1 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$

したがって、$\frac{5 - \sqrt{17}}{4} < x < \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$ が不等式の解となります。

3. 最終的な答え

(1) $2 \le x \le 3$

(2) $x \le \frac{1}{2}$ または $x \ge \frac{2}{3}$

(3) $x < 3 - \sqrt{6}$ または $x > 3 + \sqrt{6}$

(4) $\frac{5 - \sqrt{17}}{4} < x < \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$