与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

この式を整理します。一般的に、因数分解の問題では、次数が最も低い文字に着目して整理するとうまくいきやすいです。今回は$a, b, c$の次数はすべて2なので、ここでは$a$について整理します。

$a^2b + ca^2 + ab^2 + b^2c + bc^2 + 2abc + c^2a = (b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + (b^2c + bc^2)$

$a$について整理された式をさらに因数分解します。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c) = (b+c)(a^2 + (b+c)a + bc)$

さらに、$a^2 + (b+c)a + bc$ を因数分解します。

$a^2 + (b+c)a + bc = (a+b)(a+c)$

したがって、全体の式は次のようになります。

$(b+c)(a+b)(a+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$