$a + b + 1 = 0$ のとき、次の等式を証明します。 $a(a^2 - 1) - b(b^2 - 1) = a(a + 1)(b^2 - a^2)$

1. 問題の内容

$a + b + 1 = 0$ のとき、次の等式を証明します。

$a(a^2 - 1) - b(b^2 - 1) = a(a + 1)(b^2 - a^2)$

2. 解き方の手順

まず、$a+b+1=0$ より、$b = -a - 1$ であることを利用します。

等式の左辺を展開し、$b$ を $a$ で表した式に置き換えて整理します。次に、右辺も同様に展開し、$b$ を $a$ で表した式に置き換えて整理します。

左辺と右辺が同じ式になることを示すことで、等式を証明します。

左辺:

$a(a^2 - 1) - b(b^2 - 1) = a^3 - a - b^3 + b$

ここで、$b = -a - 1$ を代入します。

$a^3 - a - (-a - 1)^3 + (-a - 1) = a^3 - a + (a + 1)^3 - a - 1$

$= a^3 - a + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - a - 1$

$= 2a^3 + 3a^2 + a$

右辺:

$a(a + 1)(b^2 - a^2) = a(a + 1)(b - a)(b + a)$

ここで、$b = -a - 1$ を代入します。

$a(a + 1)(-a - 1 - a)(-a - 1 + a) = a(a + 1)(-2a - 1)(-1)$

$= a(a + 1)(2a + 1)$

$= a(2a^2 + 3a + 1)$

$= 2a^3 + 3a^2 + a$

左辺と右辺が同じ式 $2a^3 + 3a^2 + a$ となるので、等式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a + b + 1 = 0$ のとき、$a(a^2 - 1) - b(b^2 - 1) = a(a + 1)(b^2 - a^2)$ は成り立つ。