数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求めます。数列の初項は $a_1 = 3$、第2項は $a_2 = 5$ であり、漸化式は $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n + 2$ で与えられています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求めます。数列の初項は $a_1 = 3$、第2項は $a_2 = 5$ であり、漸化式は $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n + 2$ で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を $a_{n+2} - a_{n+1} = 2(a_{n+1} - a_n) + 2$ と変形します。

さらに、特性方程式 $x^2 - 3x + 2 = 0$ を解くと、$(x-1)(x-2) = 0$ となり、$x=1, 2$ が得られます。

漸化式を $a_{n+2} - a_{n+1} = 2(a_{n+1} - a_n) + 2$ から $a_{n+2} - 2a_{n+1} = (a_{n+1} - 2a_n) + 2$ が得られます。

新しい数列 $b_n = a_{n+1} - a_n$ を定義します。すると、$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$ となります。与えられた漸化式から、$b_{n+1} = 2b_n + 2$ を得ます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 5 - 3 = 2$ です。

$b_{n+1} + 2 = 2(b_n + 2)$ と変形できるので、$b_n + 2$ は初項 $b_1 + 2 = 2 + 2 = 4$、公比 $2$ の等比数列になります。

よって、$b_n + 2 = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$ より、$b_n = 2^{n+1} - 2$ となります。

$a_{n+1} - a_n = 2^{n+1} - 2$ より、

$a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = \sum_{k=1}^{n-1} (2^{k+1} - 2) = \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k+1} - 2(n-1)$

$= 2^2 \sum_{k=0}^{n-2} 2^k - 2(n-1) = 4 \cdot \frac{2^{n-1} - 1}{2-1} - 2(n-1) = 4(2^{n-1} - 1) - 2n + 2 = 2^{n+1} - 4 - 2n + 2 = 2^{n+1} - 2n - 2$

よって、$a_n = a_1 + 2^{n+1} - 2n - 2 = 3 + 2^{n+1} - 2n - 2 = 2^{n+1} - 2n + 1$ となります。

$a_1 = 2^{1+1} - 2(1) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$

$a_2 = 2^{2+1} - 2(2) + 1 = 8 - 4 + 1 = 5$

$a_3 = 2^{3+1} - 2(3) + 1 = 16 - 6 + 1 = 11$

$a_3 = 3a_2 - 2a_1 + 2 = 3(5) - 2(3) + 2 = 15 - 6 + 2 = 11$ で整合性が取れます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n+1} - 2n + 1$