与えられた各式を展開、または因数分解します。 【1】次の式を展開せよ。 (1) $x^2(x^2-3x+4)$ (2) $(2x+1)(3x+4)$ (3) $(2x^2-4xy+y^2)(2x-y)$ (4) $(5x+4y)^2$ (5) $(3x-2)(3x+2)$ (6) $(3x+1)(x+2)$ (7) $(x-2y)(5x-y)$ (8) $(a+b-2)^2$ (9) $(x-2)(x-3)(x+2)(x+3)$ (10) $(x+y)^2(x-y)^2$ 【2】次の式を因数分解せよ。 (1) $2x^3y^2 + 4x^2y - 2xy$ (2) $(a-b)x + (b-a)y$

はい、承知いたしました。問題文に書かれている数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた各式を展開、または因数分解します。

【1】次の式を展開せよ。

(1) $x^2(x^2-3x+4)$

(2) $(2x+1)(3x+4)$

(3) $(2x^2-4xy+y^2)(2x-y)$

(4) $(5x+4y)^2$

(5) $(3x-2)(3x+2)$

(6) $(3x+1)(x+2)$

(7) $(x-2y)(5x-y)$

(8) $(a+b-2)^2$

(9) $(x-2)(x-3)(x+2)(x+3)$

(10) $(x+y)^2(x-y)^2$

【2】次の式を因数分解せよ。

(1) $2x^3y^2 + 4x^2y - 2xy$

(2) $(a-b)x + (b-a)y$

2. 解き方の手順

【1】展開

(1) 分配法則を用いて、$x^2$を括弧内の各項に掛けます。

$x^2(x^2-3x+4) = x^4 - 3x^3 + 4x^2$

(2) $(2x+1)(3x+4)$を展開します。

$(2x+1)(3x+4) = 2x(3x+4) + 1(3x+4) = 6x^2+8x+3x+4 = 6x^2 + 11x + 4$

(3) $(2x^2-4xy+y^2)(2x-y)$を展開します。

$(2x^2-4xy+y^2)(2x-y) = 2x^2(2x-y) -4xy(2x-y) + y^2(2x-y) = 4x^3 - 2x^2y - 8x^2y + 4xy^2 + 2xy^2 - y^3 = 4x^3 - 10x^2y + 6xy^2 - y^3$

(4) $(5x+4y)^2$を展開します。

$(5x+4y)^2 = (5x)^2 + 2(5x)(4y) + (4y)^2 = 25x^2 + 40xy + 16y^2$

(5) $(3x-2)(3x+2)$を展開します。これは和と差の積の公式 ($a^2-b^2$) が使えます。

$(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - (2)^2 = 9x^2 - 4$

(6) $(3x+1)(x+2)$を展開します。

$(3x+1)(x+2) = 3x(x+2) + 1(x+2) = 3x^2 + 6x + x + 2 = 3x^2 + 7x + 2$

(7) $(x-2y)(5x-y)$を展開します。

$(x-2y)(5x-y) = x(5x-y) - 2y(5x-y) = 5x^2 -xy - 10xy + 2y^2 = 5x^2 -11xy + 2y^2$

(8) $(a+b-2)^2$を展開します。

$(a+b-2)^2 = ((a+b)-2)^2 = (a+b)^2 - 4(a+b) + 4 = a^2 + 2ab + b^2 - 4a - 4b + 4$

(9) $(x-2)(x-3)(x+2)(x+3)$を展開します。

$(x-2)(x+2)(x-3)(x+3) = (x^2 - 4)(x^2 - 9) = x^4 - 9x^2 - 4x^2 + 36 = x^4 - 13x^2 + 36$

(10) $(x+y)^2(x-y)^2$を展開します。

$((x+y)(x-y))^2 = (x^2 - y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

【2】因数分解

(1) $2x^3y^2 + 4x^2y - 2xy$を因数分解します。共通因数$2xy$でくくります。

$2x^3y^2 + 4x^2y - 2xy = 2xy(x^2y + 2x - 1)$

(2) $(a-b)x + (b-a)y$を因数分解します。$(b-a) = -(a-b)$であることを利用します。

$(a-b)x + (b-a)y = (a-b)x - (a-b)y = (a-b)(x-y)$

3. 最終的な答え

【1】

(1) $x^4 - 3x^3 + 4x^2$

(2) $6x^2 + 11x + 4$

(3) $4x^3 - 10x^2y + 6xy^2 - y^3$

(4) $25x^2 + 40xy + 16y^2$

(5) $9x^2 - 4$

(6) $3x^2 + 7x + 2$

(7) $5x^2 -11xy + 2y^2$

(8) $a^2 + 2ab + b^2 - 4a - 4b + 4$

(9) $x^4 - 13x^2 + 36$

(10) $x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

【2】

(1) $2xy(x^2y + 2x - 1)$

(2) $(a-b)(x-y)$