数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式 $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

したがって、$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ となります。

次に、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$

$= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$

$= 1 + \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)$

上記の和はtelescoping sum（望遠鏡和）であるため、

$a_n = 1 + \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 2 - \frac{1}{n}$

となります。

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2 - \frac{1}{1} = 1$ であり、これは与えられた条件 $a_1 = 1$ と一致します。

したがって、すべての $n \geq 1$ に対して、$a_n = 2 - \frac{1}{n}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2 - \frac{1}{n}$