数列 $\{a_n\}$ が $1, 0, 3, -6, 21, -60, \dots$ で与えられており、その階差数列が等比数列になるという。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求め、さらに値が1000より小さい正の項をすべて加えた和を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $1, 0, 3, -6, 21, -60, \dots$ で与えられており、その階差数列が等比数列になるという。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求め、さらに値が1000より小さい正の項をすべて加えた和を求める。

2. 解き方の手順

まず、階差数列を求める。

階差数列は $-1, 3, -9, 27, -81, \dots$ となり、これは初項 $-1$, 公比 $-3$ の等比数列である。

したがって、階差数列の一般項は $b_n = (-1)(-3)^{n-1} = (-3)^{n-1}(-1) = -(-3)^{n-1}$ である。

$a_n$ は $a_1 = 1$ と階差数列 $b_n$ を用いて、次のように表せる。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} -(-3)^{k-1} = 1 - \sum_{k=1}^{n-1} (-3)^{k-1}$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=1}^{n-1} (-3)^{k-1} = \frac{1 - (-3)^{n-1}}{1 - (-3)} = \frac{1 - (-3)^{n-1}}{4}$

したがって、

$a_n = 1 - \frac{1 - (-3)^{n-1}}{4} = \frac{4 - 1 + (-3)^{n-1}}{4} = \frac{3 + (-3)^{n-1}}{4}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3 + (-3)^{1-1}}{4} = \frac{3 + 1}{4} = 1$ なので、$n=1$ のときもこの式は成り立つ。

よって、$a_n = \frac{3 + (-3)^{n-1}}{4}$ である。

次に、1000より小さい正の項を求める。

$a_n > 0$ かつ $a_n < 1000$ を満たす $n$ を求める。

$\frac{3 + (-3)^{n-1}}{4} > 0 \implies 3 + (-3)^{n-1} > 0 \implies (-3)^{n-1} > -3$

$\frac{3 + (-3)^{n-1}}{4} < 1000 \implies 3 + (-3)^{n-1} < 4000 \implies (-3)^{n-1} < 3997$

$a_1 = 1$

$a_2 = 0$

$a_3 = 3$

$a_4 = -6$

$a_5 = 21$

$a_6 = -60$

$a_7 = 183$

$a_8 = -540$

$a_9 = 1623 > 1000$

したがって、1000より小さい正の項は $a_1 = 1, a_3 = 3, a_5 = 21, a_7 = 183$ である。

これらの和は $1 + 3 + 21 + 183 = 208$ である。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3 + (-3)^{n-1}}{4}$

$208$