与えられた数列の和を計算する問題です。具体的には、以下の式で表される和を求めます。 $\sum_{k=1}^{n-1} \{-(-3)^{k-1}\}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。具体的には、以下の式で表される和を求めます。

$\sum_{k=1}^{n-1} \{-(-3)^{k-1}\}$

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を整理します。

$\sum_{k=1}^{n-1} \{-(-3)^{k-1}\} = \sum_{k=1}^{n-1} -(-3)^{k-1}$

次に、和の記号を展開します。

$-(-3)^{1-1} -(-3)^{2-1} -(-3)^{3-1} - \dots -(-3)^{(n-1)-1}$

$= -(-3)^0 -(-3)^1 -(-3)^2 - \dots -(-3)^{n-2}$

$= -1 -(-3) -9 - \dots -(-3)^{n-2}$

$= -1 + 3 - 9 + \dots -(-3)^{n-2}$

これは初項が $-1$、公比が $-3$ の等比数列の和なので、等比数列の和の公式を用いて計算できます。等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。この問題では、$a = -1$, $r = -3$, $n = n-1$ です。したがって、和は次のようになります。

$S_{n-1} = \frac{-1(1-(-3)^{n-1})}{1-(-3)} = \frac{-1(1-(-3)^{n-1})}{4} = \frac{-1 + (-3)^{n-1}}{4} = \frac{(-3)^{n-1}-1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{(-3)^{n-1}-1}{4}$