第2項が3、初項から第3項までの和が13である等比数列の初項と公比を求める。

1. 問題の内容

第2項が3、初項から第3項までの和が13である等比数列の初項と公比を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、第2項は $ar$ と表せるので、

$ar = 3$

となる。また、初項から第3項までの和は $a + ar + ar^2$ と表せるので、

$a + ar + ar^2 = 13$

となる。

$ar = 3$ より、$a = \frac{3}{r}$ である。これを $a + ar + ar^2 = 13$ に代入すると、

$\frac{3}{r} + 3 + 3r = 13$

両辺に $r$ をかけて整理すると、

$3 + 3r + 3r^2 = 13r$

$3r^2 - 10r + 3 = 0$

$(3r - 1)(r - 3) = 0$

よって、$r = \frac{1}{3}, 3$

(1) $r = \frac{1}{3}$ のとき、$a = \frac{3}{\frac{1}{3}} = 9$

(2) $r = 3$ のとき、$a = \frac{3}{3} = 1$

したがって、初項と公比は $(9, \frac{1}{3})$ または $(1, 3)$ である。

3. 最終的な答え

初項9、公比1/3

または

初項1、公比3