$a, b$ を実数の定数とする。$x$ の3次方程式 $x^3 + (3a+b-1)x^2 + (3a+5)x - 4a + b - 13 = 0$ は $x=2$ を解に持つ。このとき、$b$ を $a$ で表し、与えられた3次方程式が $(x-2)(x^2 - \text{エ}x + a + \text{オ}) = 0$ と変形できる。この3次方程式の解がすべて0以上の実数となるような $a$ の値の範囲を求める。2次方程式の解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha, \beta$ がともに1以上の実数となる条件も考慮する。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数の定数とする。$x$ の3次方程式 $x^3 + (3a+b-1)x^2 + (3a+5)x - 4a + b - 13 = 0$ は $x=2$ を解に持つ。このとき、$b$ を $a$ で表し、与えられた3次方程式が $(x-2)(x^2 - \text{エ}x + a + \text{オ}) = 0$ と変形できる。この3次方程式の解がすべて0以上の実数となるような $a$ の値の範囲を求める。2次方程式の解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha, \beta$ がともに1以上の実数となる条件も考慮する。

2. 解き方の手順

(1) $x=2$ を与えられた3次方程式に代入する:

$2^3 + (3a+b-1)2^2 + (3a+5)2 - 4a + b - 13 = 0$

$8 + 4(3a+b-1) + 2(3a+5) - 4a + b - 13 = 0$

$8 + 12a + 4b - 4 + 6a + 10 - 4a + b - 13 = 0$

$14a + 5b + 1 = 0$

$5b = -14a - 1$

$b = -\frac{14}{5}a - \frac{1}{5}$

よって、ア= $-\frac{14}{5}$, イ= $-\frac{1}{5}$

(2) $b$ の値を元の3次方程式に代入する:

$x^3 + (3a - \frac{14}{5}a - \frac{1}{5} - 1)x^2 + (3a+5)x - 4a - \frac{14}{5}a - \frac{1}{5} - 13 = 0$

$x^3 + (\frac{1}{5}a - \frac{6}{5})x^2 + (3a+5)x - \frac{34}{5}a - \frac{66}{5} = 0$

$x=2$ が解であるから、因数定理より $(x-2)$ で割り切れる:

$x^3 + (\frac{1}{5}a - \frac{6}{5})x^2 + (3a+5)x - \frac{34}{5}a - \frac{66}{5} = (x-2)(x^2+cx+d)$

右辺を展開すると $x^3 + (c-2)x^2 + (d-2c)x - 2d$ となる。

係数を比較する:

$c-2 = \frac{1}{5}a - \frac{6}{5} \Rightarrow c = \frac{1}{5}a + \frac{4}{5}$

$d-2c = 3a+5 \Rightarrow d = 2c + 3a + 5 = 2(\frac{1}{5}a + \frac{4}{5}) + 3a + 5 = \frac{2}{5}a + \frac{8}{5} + 3a + 5 = \frac{17}{5}a + \frac{33}{5}$

$-2d = -\frac{34}{5}a - \frac{66}{5} \Rightarrow d = \frac{17}{5}a + \frac{33}{5}$

よって、$(x-2)(x^2 + (\frac{1}{5}a + \frac{4}{5})x + \frac{17}{5}a + \frac{33}{5}) = 0$

$5x^3 + (a-6)x^2 + (15a+25)x - 34a - 66 = 0$

問題文の形に合わせるために、係数を比較するのではなく、定数項を比較する:

$-2d = -\frac{34}{5}a - \frac{66}{5}$ より $d = \frac{17}{5}a + \frac{33}{5}$

$x^2 + (\frac{1}{5}a+\frac{4}{5})x + a + (\frac{12}{5}a + \frac{33}{5}-a)$ という形にしたいので

$(\frac{17}{5}a + \frac{33}{5}) = a + (\frac{12}{5}a + \frac{33}{5})$

$x^2 + (\frac{1}{5}a + \frac{4}{5})x + \frac{17}{5}a + \frac{33}{5} = 0$

$x^2 - (\text{エ})x + a + (\text{オ}) = 0$

$-\text{エ} = \frac{1}{5}a + \frac{4}{5}$ と $\text{オ} = \frac{12}{5}a + \frac{33}{5}$

$\alpha, \beta$ が共に1以上の実数であるための条件

$\alpha + \beta \geq 2$, $\alpha \beta \geq 1$, $D \geq 0$

$x^2 + px + q = 0$ の2解が1以上となる条件

$-(p) \geq 2$ かつ $q \geq 1$ かつ $D \geq 0$

$x^2+(\frac{1}{5}a+\frac{4}{5})x+\frac{17}{5}a+\frac{33}{5} = 0$の2解がすべて1以上の実数

$-\frac{1}{5}a - \frac{4}{5} \ge 2$ より $a \le -14$

$\frac{17}{5}a+\frac{33}{5} \ge 1$ より $a \ge -\frac{28}{17}$

判別式 $D = (\frac{1}{5}a+\frac{4}{5})^2 - 4(\frac{17}{5}a+\frac{33}{5}) = \frac{1}{25}a^2 + \frac{8}{25}a + \frac{16}{25} - \frac{68}{5}a - \frac{132}{5} \ge 0$

$a^2 + 8a + 16 - 340a - 660 \ge 0$

$a^2 - 332a - 644 \ge 0$

$a \le 2$

3. 最終的な答え

ア: $-\frac{14}{5}$

イ: $-\frac{1}{5}$

エ: $-\frac{1}{5}a - \frac{4}{5}$

オ: $\frac{12}{5}a + \frac{33}{5}$

カ: $α+β \geq 2$

キ: $αβ \geq 1$

ク: $D \geq 0$

ケ:

コ: