2次関数 $y = x^2 + 2(m-1)x + 3 - m$ のグラフについて、以下の条件を満たす $m$ の値の範囲を求める。 (1) $x$軸の $x < 1$ の部分と異なる2点で交わる。 (2) $x$軸の正の部分と負の部分のそれぞれと交わる。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2(m-1)x + 3 - m$ のグラフについて、以下の条件を満たす $m$ の値の範囲を求める。

(1) $x$軸の $x < 1$ の部分と異なる2点で交わる。

(2) $x$軸の正の部分と負の部分のそれぞれと交わる。

2. 解き方の手順

(1) $x$軸の $x < 1$ の部分と異なる2点で交わる条件を考える。

$f(x) = x^2 + 2(m-1)x + 3 - m$ とおく。

条件は以下の3つである。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸の位置 $< 1$

(iii) $f(1) > 0$

(i) について:

$D/4 = (m-1)^2 - (3-m) = m^2 - 2m + 1 - 3 + m = m^2 - m - 2 = (m-2)(m+1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 2$

(ii) について:

軸は $x = -(m-1) = 1-m$ なので、

$1-m < 1$

$m > 0$

(iii) について:

$f(1) = 1 + 2(m-1) + 3 - m = 1 + 2m - 2 + 3 - m = m + 2 > 0$

よって、$m > -2$

(i), (ii), (iii) の共通範囲を求める。

$m < -1$ または $m > 2$ かつ $m > 0$ かつ $m > -2$

したがって、$-2 < m < -1$ または $m > 2$

(2) $x$軸の正の部分と負の部分のそれぞれと交わる条件を考える。

これは、$f(0) < 0$ と同値である。

$f(0) = 3 - m < 0$

$m > 3$

3. 最終的な答え

(1) $-2 < m < -1$ または $m > 2$

(2) $m > 3$