2次関数 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ のグラフと $x$ 軸の $x > 1$ の部分が、異なる2点で交わるときの、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ のグラフと $x$ 軸の $x > 1$ の部分が、異なる2点で交わるときの、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、次の3つの条件を考える必要があります。

(1) 2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つこと（判別式 $D > 0$）。

(2) 2つの解が共に1より大きいこと。このために、$f(x) = x^2 - 2mx + m + 2$ とおくと、

(a) $f(1) > 0$

(b) 軸の位置が $x > 1$ にあること。

(1) 判別式 $D$ について

$D/4 = (-m)^2 - (m+2) = m^2 - m - 2 > 0$

$(m-2)(m+1) > 0$

$m < -1$ または $m > 2$ ...(i)

(2) $f(x) = x^2 - 2mx + m + 2$ について

(a) $f(1) > 0$ より

$1 - 2m + m + 2 > 0$

$3 - m > 0$

$m < 3$ ...(ii)

(b) 軸の位置は $x = m$ であるので

$m > 1$ ...(iii)

(i), (ii), (iii) を全て満たす $m$ の範囲を求める。

数直線を書くと、

$m < -1$ と $m > 2$、 $m < 3$、 $m > 1$ を全て満たすのは、$2 < m < 3$

3. 最終的な答え

$2 < m < 3$