(3) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が-2のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求める。 (4) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が9のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求める。 (5) 2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(3) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が-2のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

(4) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が9のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求める。

(5) 2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(3)

まず、2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 6x + a = (x - 3)^2 - 9 + a$

軸は $x = 3$ であり、$1 \le x \le 4$ の範囲に含まれる。

したがって、最小値は $x = 3$ のときにとり、最小値は $-9 + a$ となる。

最小値が $-2$ なので、$-9 + a = -2$ より、 $a = 7$

次に、最大値を求める。

$x = 1$ のとき、 $y = 1^2 - 6(1) + 7 = 1 - 6 + 7 = 2$

$x = 4$ のとき、 $y = 4^2 - 6(4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1$

したがって、最大値は $x = 1$ のときの $2$ である。

(4)

まず、2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + 2x + 2a = (x + 1)^2 - 1 + 2a$

軸は $x = -1$ であり、$-2 \le x \le 1$ の範囲に含まれる。

$x = -2$ のとき、 $y = (-2)^2 + 2(-2) + 2a = 4 - 4 + 2a = 2a$

$x = 1$ のとき、 $y = 1^2 + 2(1) + 2a = 1 + 2 + 2a = 3 + 2a$

最大値は $x = 1$ のときにとり、最大値は $3 + 2a$ となる。

最大値が $9$ なので、$3 + 2a = 9$ より、$2a = 6$ となり、$a = 3$

次に、最小値を求める。

$y = (x + 1)^2 - 1 + 2(3) = (x + 1)^2 + 5$

軸は $x = -1$ であり、この範囲に含まれるので、$x = -1$ のとき最小値をとる。

最小値は $(-1 + 1)^2 + 5 = 5$

(5)

2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、判別式 $D$ が $D = 0$ となる。

$D = (a-1)^2 - 4(1)(4) = (a-1)^2 - 16 = 0$

$(a-1)^2 = 16$

$a-1 = \pm 4$

$a = 1 \pm 4$

$a = 5, -3$

3. 最終的な答え

(3) 定数 $a$ の値は $7$ であり、このとき、最大値は $2$ である。

(4) 定数 $a$ の値は $3$ であり、このとき、最小値は $5$ である。

(5) 定数 $a$ の値は $5, -3$ である。