二つの不等式を解く問題です。 (1) $3^{x-1} > 27$ (2) $(\frac{1}{2})^{x-1} \leq (\frac{1}{2\sqrt{2}})^4$

1. 問題の内容

二つの不等式を解く問題です。

(1) $3^{x-1} > 27$

(2) $(\frac{1}{2})^{x-1} \leq (\frac{1}{2\sqrt{2}})^4$

2. 解き方の手順

(1) $3^{x-1} > 27$ について:

まず、両辺を3の累乗の形で表します。$27 = 3^3$ なので、不等式は次のようになります。

$3^{x-1} > 3^3$

底が1より大きいので、指数部分の大小関係が不等号の向きを保ちます。

$x - 1 > 3$

$x > 4$

(2) $(\frac{1}{2})^{x-1} \leq (\frac{1}{2\sqrt{2}})^4$ について:

まず、$2\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2}$ なので、

$\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}$

$(\frac{1}{2\sqrt{2}})^4 = (2^{-3/2})^4 = 2^{-6} = (\frac{1}{2})^6$

したがって、不等式は次のようになります。

$(\frac{1}{2})^{x-1} \leq (\frac{1}{2})^6$

底が1より小さいので、指数部分の大小関係が不等号の向きと逆になります。

$x - 1 \geq 6$

$x \geq 7$

3. 最終的な答え

(1) $x > 4$

(2) $x \geq 7$