与えられた4つの行列の階数 (rank) を求める問題です。 (i) $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}$ (ii) $\begin{pmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & -7 \end{pmatrix}$ (iii) $\begin{pmatrix} 6 & 3 & 9 & 0 \\ -2 & 3 & 1 & -8 \\ -1 & 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ (iv) $\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 & 3 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ -1 & -4 & 1 & -9 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4つの行列の階数 (rank) を求める問題です。

(i) $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}$

(ii) $\begin{pmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & -7 \end{pmatrix}$

(iii) $\begin{pmatrix} 6 & 3 & 9 & 0 \\ -2 & 3 & 1 & -8 \\ -1 & 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

(iv) $\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 & 3 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ -1 & -4 & 1 & -9 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数を求めるには、基本変形（行基本変形または列基本変形）を用いて階段行列に変形し、0でない行の数を数える方法が一般的です。行列式を計算して、行列式が0でない最大の小行列のサイズを求める方法もあります。ここでは、行基本変形を使って階段行列に変形する方法を示します。

(i)

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}$

1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 9 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

2行目を3で割り、3行目を2で割ります。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{pmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

この行列は階段行列であり、0でない行は3行なので、階数は3です。

(ii)

$\begin{pmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & -7 \end{pmatrix}$

2行目から1行目を引き、3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 0 & -2 & -5 \\ 0 & -4 & -10 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 0 & -2 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列は階段行列であり、0でない行は2行なので、階数は2です。

(iii)

$\begin{pmatrix} 6 & 3 & 9 & 0 \\ -2 & 3 & 1 & -8 \\ -1 & 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

1行目を6で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ -2 & 3 & 1 & -8 \\ -1 & 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の2倍を足し、3行目に1行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 4 & 4 & -8 \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & -3 \end{pmatrix}$

2行目を4で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & -3 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の$\frac{3}{2}$倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列は階段行列であり、0でない行は2行なので、階数は2です。

(iv)

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 & 3 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ -1 & -4 & 1 & -9 \end{pmatrix}$

1行目と4行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} -1 & -4 & 1 & -9 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ 3 & -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

1行目に-1をかけます。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 9 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ 3 & -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の5倍を足し、3行目から1行目の4倍を引き、4行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 9 \\ 0 & 17 & -4 & 47 \\ 0 & -14 & 1 & -42 \\ 0 & -13 & 1 & -24 \end{pmatrix}$

2行目を17で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 9 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{17} & \frac{47}{17} \\ 0 & -14 & 1 & -42 \\ 0 & -13 & 1 & -24 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の14倍を足し、4行目に2行目の13倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 9 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{17} & \frac{47}{17} \\ 0 & 0 & -\frac{39}{17} & -\frac{2}{17} \\ 0 & 0 & -\frac{35}{17} & \frac{253}{17} \end{pmatrix}$

3行目を$-\frac{39}{17}$で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 9 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{17} & \frac{47}{17} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{39} \\ 0 & 0 & -\frac{35}{17} & \frac{253}{17} \end{pmatrix}$

4行目に3行目の$\frac{35}{17}$倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 9 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{17} & \frac{47}{17} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{39} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{589}{39} \end{pmatrix}$

この行列は階段行列であり、0でない行は4行なので、階数は4です。

3. 最終的な答え

(i) 3

(ii) 2

(iii) 2

(iv) 4