関数 $y = \frac{a}{x}$ のグラフと直線 $y = -\frac{2}{3}x$ が2点A, Bで交わっている。点Aのx座標は-6であり、点Cは関数 $y = \frac{a}{x}$ のグラフ上にあり、点Cのy座標は-8である。 (1) 点Aのy座標を求める。 (2) $a$ の値を求める。 (3) 三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{a}{x}$ のグラフと直線 $y = -\frac{2}{3}x$ が2点A, Bで交わっている。点Aのx座標は-6であり、点Cは関数 $y = \frac{a}{x}$ のグラフ上にあり、点Cのy座標は-8である。

(1) 点Aのy座標を求める。

(2) $a$ の値を求める。

(3) 三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは直線 $y = -\frac{2}{3}x$ 上にあるので、点Aのx座標を代入してy座標を求める。

$y = -\frac{2}{3} \times (-6) = 4$

したがって、点Aのy座標は4である。

(2) 点Cは関数 $y = \frac{a}{x}$ のグラフ上にあり、y座標は-8である。点Cのx座標を $x_C$ とすると、

$-8 = \frac{a}{x_C}$

$x_C = -\frac{a}{8}$

点Aも関数 $y = \frac{a}{x}$ 上にあるので、点Aの座標を代入して $a$ の値を求める。

$4 = \frac{a}{-6}$

$a = -24$

(3) $a = -24$ なので、関数は $y = -\frac{24}{x}$ となる。直線 $y = -\frac{2}{3}x$ との交点Bのx座標を求める。

$-\frac{24}{x} = -\frac{2}{3}x$

$\frac{24}{x} = \frac{2}{3}x$

$2x^2 = 24 \times 3$

$x^2 = 36$

$x = \pm 6$

点Aのx座標は-6なので、点Bのx座標は6となる。点Bのy座標は

$y = -\frac{2}{3} \times 6 = -4$

したがって、点Bの座標は (6, -4) である。

点Cの座標を求める。

点Cのy座標は-8なので、$y = \frac{-24}{x}$ に代入して $x$ を求める。

$-8 = \frac{-24}{x}$

$x = 3$

したがって、点Cの座標は (3, -8) である。

三角形ABCの面積を求める。点A(-6, 4), B(6, -4), C(3, -8)

A, Bを通る直線の式は $y = -\frac{2}{3} x$ である。

点Cから直線ABまでの距離hを求める。公式 |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2) を用いる。

直線ABの式は $2x + 3y = 0$

h = |2*3 + 3*(-8)| / sqrt(2^2 + 3^2) = |6 - 24| / sqrt(13) = 18 / sqrt(13)

ABの長さを求める。sqrt((6 - (-6))^2 + (-4 - 4)^2) = sqrt(12^2 + (-8)^2) = sqrt(144 + 64) = sqrt(208) = 4*sqrt(13)

三角形の面積 = 1/2 * 底辺 * 高さ = 1/2 * 4*sqrt(13) * 18/sqrt(13) = 2 * 18 = 36

3. 最終的な答え

(1) 点Aのy座標は 4 である。

(2) $a$ の値は -24 である。

(3) 三角形ABCの面積は 36 $cm^2$ である。