$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11}-\sqrt{10}}{(\sqrt{11}+\sqrt{10})(\sqrt{11}-\sqrt{10})} = \frac{\sqrt{11}-\sqrt{10}}{11-10} = \sqrt{11}-\sqrt{10}$

$y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{(\sqrt{11}-\sqrt{10})(\sqrt{11}+\sqrt{10})} = \frac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{11-10} = \sqrt{11}+\sqrt{10}$

次に、$x^2$と$y^2$をそれぞれ計算します。

$x^2 = (\sqrt{11}-\sqrt{10})^2 = (\sqrt{11})^2 - 2\sqrt{11}\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 11 - 2\sqrt{110} + 10 = 21 - 2\sqrt{110}$

$y^2 = (\sqrt{11}+\sqrt{10})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 11 + 2\sqrt{110} + 10 = 21 + 2\sqrt{110}$

最後に、$x^2 + y^2$を計算します。

$x^2 + y^2 = (21 - 2\sqrt{110}) + (21 + 2\sqrt{110}) = 21 - 2\sqrt{110} + 21 + 2\sqrt{110} = 42$

3. 最終的な答え

42